题目

如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B ， 且对称轴是直线x＝3． （1） 求该二次函数的解析式； （2） 若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N ， 当△ANM面积最大时，求M的坐标； （3） P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q ． 过A作AC⊥x轴于C ， 当以O ， P ， Q为顶点的三角形与以O ， A ， C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标． 答案： 解：∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3， ∴B点坐标为（6，0）， 设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6）， 把A（8，4）代入得a•8•2＝4，解得a＝ 14 ， ∴抛物线解析式为y＝ 14 x（x﹣6），即y＝ 14 x2﹣ 32 x； 解：设M（t，0）， 易得直线OA的解析式为y＝ 12 x， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把B（6，0），A（8，4）代入得 {6k+b=08k+b=4 ，解得 {k=2b=−12 ， ∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12， ∵MN∥AB， ∴设直线MN的解析式为y＝2x+n， 把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t， ∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t， 解方程组 {y=12xy=2x−2t 得 {x=43ty=23t ，则 N(43t,23t) ， ∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM =12⋅4⋅t−12⋅t⋅23t   =−13t2+2t   =−13(t−3)2+3 ， 当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）； 解：设 (m,14m2−32m) ， ∵∠OPQ＝∠ACO， ∴当 PQOC=POAC 时，△PQO∽△COA，即 PQ8=PO4 ， ∴PQ＝2PO，即 |14m2−32m|=2|m| ， 解方程 14m2−32m=2m 得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）； 解方程 14m2−32m=−2m 得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）； ∴当 PQAC=POOC 时，△PQO∽△CAO，即 PQ4=PO8 ， ∴PQ＝ 12 PO，即 |14m2−32m|=12|m| ， 解方程 =14m2−32m=12m 得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）； 解方程 =14m2−32m=−12m 得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）； 综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．

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