题目

在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测） （1） 若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？ （2） 现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？ （3） 若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？ 答案： 解：在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°， ∴OC= OB2+BC2 = 802+602 =100，∵ 12 OC= 12 ×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里 解：作AM⊥BC于M， ∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB= 12 BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM= 12 AB=15，AM= 3 BM=15 3 ，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15 3 海里 解：假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x， ∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH= 3 x，∵BM=15，∴15= 3 x+2x，x=30﹣15 3 ，∴AN=30 3 ﹣30，BN= MN2+BM2 =15（ 6 ﹣ 2 ），设B军舰速度为a海里/小时，由题意 15(6−2)a ≤ 303−30202 ，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．

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