题目

在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0）． （1） 求直线AC的表达式和点B的坐标； （2） 作BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x＋b经过点B，交y轴于点D．①求△ABD的面积；②在直线AC上是否存在一点M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：设直线AC的表达式为y=kx+b，∵A（0，4），C（2，0）．∴{b=42k+b=0，解得{k=−2b=4，∴直线AC的表达式为y=-2x+4；∵BE⊥x轴于点E，∴∠BEC=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°．∵∠AOC=∠ACB=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，∴∠OAC=∠BCE．在Rt△AOC和Rt△CEB中，{∠AOC=∠CEB∠OAC=∠BCEAC=CB，∴Rt△AOC≌Rt△CEB（AAS），∴BE=OC=2，CE=OA=4，∴OE=OC+CE=6，∴点B的坐标为（6，2）； 解：①将B点坐标（6，2）代入y=x+b，得6+b=2，解得b=-4，直线BD的解析式为y=x-4，当x=0时，y=-4，即D（0，-4）．∴AD=8，∴S△ABD=12×8×6=24；②点M的横坐标为−2655或2655或137

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