题目

如图,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1.另一个侧面ABC是正三角形.(1)求证:AD⊥BC;(2)求二面角B-AC-D的大小;(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由. 答案：(1)证法一:作AH⊥面BCD于H,连结DH,AB⊥BDHB⊥BD,∵AD=,BD=1,∴AB==BC=AC.∴BD⊥DC.又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH⊥BC,∴AD⊥BC.证法二:取BC的中点O,连结AO、DO,则有AO⊥BC,DO⊥BC.∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角BACD的平面角.∵AB=AC=BC=,∴M是AC的中点,且MN∥CD.∴BM=,MN=CD=,BN=AD=.由余弦定理得cos∠BMN=.∴∠BMN=arccos.(3)解:设E为所求的点,作EF⊥CH于F,连结FD,则EF∥AH.∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=1+x2.∴tan∠EDF=,解得x=,则CE==1.故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.

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