题目

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A （1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小?若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．答案：解：把A （1，0）、B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋3得， {a+b+3=016a+4b+3=0 ，解得 {a＝34b＝−154 所以，抛物线的解析式为 y=34x2−154x+3 解：∵A、B关于对称轴对称，如图，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC， ∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）， ∴OA=1，OC=3，BC=5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9； ∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9 解：如图，设对称轴与x轴交于点D． ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）， ∴OB=4，AB=3，BC=5，直线BC： y=−34x+3 ，由二次函数可得，对称轴直线x= 52 ， ∴P（ 52 ， 98 ），BP= 158 ， ①当△BPQ∽△BCA， ∴ BQBA=BPBC ， ∴ BQ3=1585=38 ， ∴ BQ=98 ， ∴ OQ=OB−BQ=4−98=238 ， ∴ Q1(238,0) ②当△BQP∽△BCA， ∴ BQBC=BPBA, ， ∴ BQ5=1583=58 ， ∴BQ= 258 ， ∴OQ=OB-BQ=4- 258 = 78 ， ∴Q2（ 78 ，0），综上，求得点Q的坐标（ 238 ，0）或（ 78 ，0）

数学试题推荐

数学试卷推荐