题目

如图，在等腰直角三角形ABC中， D是AB的中点，E，F分别是AC，BC.上的点(点E不与端点A，C重合)，且 连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使 ，连接DE，DF，GE，GF （1） 求证:四边形EDFG是正方形; （2） 直接写出当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?最小值是多少? 答案： 证明：证明:连接CD，如图1所示. ∵ ΔABC 为等腰直角三角形， ∠ACB=90° ， D是AB的中点， ∴ ∠A=∠DCF=45°, AD=CD 在 ΔADE 和 ΔCDF 中 AE=CF⋅∠A=∠DCF⋅AD=CD ， ∴ ΔADE≅ΔCDF(SAS) ， ∴ DE=DF, ∠ADE=∠CDF , ∵ ∠ADE+∠EDC=90° ， ∴ ∠EDC+∠CDF=∠EDF=90° ， ∴ ΔEDF 为等腰直角三角形. ∵O为EF的中点， GO=OD ， ∴ GD⊥EF ，且 GD=2OD=EF ， ∴四边形EDFG是正方形; 解：过点D作 DE′⊥AC 于E′，如图2所示. ∵ ΔABC 为等腰直角三角形， ∠ACB=90°,AC=BC=4 ， ∴ DE′=2,AB=42 ，点E′为AC的中点， ∴ 2≤DE<22 (点E与点E′重合时取等号). ∴ 4≤S 四边形BDFG=DE2<8 ∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4

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