题目

如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 答案：（1）见解析；（2） 【分析】 （1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明； （2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积. 【详解】 （1）证明：连接，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理.

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