题目

（1） 问题提出 如图①，在△ABC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段DE、DF的数量关系是 . （2） 问题探究 如图②，在△ABC，BC＝2+2 ，∠ABC＝60°，∠C＝45°，∠ABC的平分线交AC于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，求线段DE的长. （3） 问题解决 如图③，是某小区在一片足够大的空地处修建的四边形活动区域示意图，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝60m，∠BDC＝60°，连接AD，交BC于点P，过点P作PE⊥BD，PF⊥CD，垂足分别为E、F，按设计要求，四边形PEDF内部为活动区，阴影部分是绿化区，设BP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）. ①求y与x之间的函数关系式； ②按设计要求绿化（阴影部分）的面积为500 m2 ， 且BP＜CP，求BP的长为多少. 答案： 【1】DE＝DF 解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠DBF＝ 12 ∠ABC＝30°， ∴BF＝ 3 DF， ∵∠C＝45°，DF⊥BC， ∴∠C＝∠CDF＝45°， ∴DF＝CF， ∵BC＝2+2 3 ＝BF+CF＝ 3 DF+DF， ∴DF＝2， ∴DE＝2； 解：如图③，过点A作AN⊥BC于N，在DF上截取FH＝BE，连接PH，过点H作HG⊥BC于G， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝60m，AN⊥BC， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BN＝CN＝30m， ∴BN＝ 3 AN， ∴AN＝10 3 m， ∴S△ABC＝ 12 BC×AN＝ 12 ×60×10 3 ＝300 3 （m2）， ∵∠BAC+∠BDC＝180°， ∴点A，点B，点D，点C四点共圆， ∴∠ABC＝∠ADC＝30°，∠ACB＝∠ADB＝30°， ∴∠ADC＝∠ADB＝30°， 又∵PE⊥BD，PF⊥CD， ∴PF＝PE，∠EPF＝120°， 又∵∠PEB＝∠PFH＝90°，BE＝FH， ∴△PBE≌△PHF（SAS）， ∴BP＝PH＝x（m），∠BPE＝∠HPF，S△PBE＝S△PHF， ∴∠BPH＝∠EPF＝120°， ∴∠HPC＝60°， ∴∠PHG＝30°， ∴PG＝ 12 PH＝ x2 （m），GH＝ 3 PG＝ 32 x（m）， ∴阴影部分的面积＝S△ABC+S△PHC， ∴y＝300 3 + 12 ×（60﹣x）× 32 x＝﹣ 34 x2+15 3 x+300 3 ； ②当y＝500 3 m2，则500 3 ＝﹣ 34 x2+15 3 x+300 3 ， ∴x1＝20，x2＝40， ∵BP＜CP， ∴x＝20， ∴BP＝20m.

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