题目

已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点A，与轴的负半轴交于点B， ，过点A作轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为，过点C作轴，垂足为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点N在线段上，连接ON，点P在线段ON上，过P点作轴，垂足为D，交OC于点E，若，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作轴的平行线交BQ于点G，连接PF交轴于点H，连接EH，若，求点P的坐标．   答案：（1）；（2）；（3）． 【解析】 （1）根据题意求出A，B的坐标即可求出直线AB的解析式； （2）求出N（3,9），以及ON的解析式为y=3x，设P（a，3a），表达出PE及OD即可解答； （3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，先证明四边形OSRA为矩形，再通过边角关系证明△OFS≌△FQR，得到SF=QR，进而证明△BSG≌△QRG，得到SG=RG=6，设FR=m，根据，以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH，利用正切函数的定义得到，从而得到DH=，根据∠PHD=∠FHT，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT，列出关于a的方程即可求出a的值，从而得到点P的坐标． 【详解】 解：（1）∵CM⊥y轴，OM=9， ∴当y=9时，，解得：x=12， ∴C（12,9）， ∵CA⊥x轴，则A（12,0）， ∴OB=OA=12，则B（0，-12）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴，解得：， ∴； （2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°， ∴四边形MOAC为矩形， ∴MC=OA=12， ∵NC=OM， ∴NC=9，则MN=MC-NC=3， ∴N（3,9） 设直线ON的解析式为， 将N（3，9）代入得：，解得：， ∴y=3x， 设P（a，3a） ∵PD⊥x轴交OC于点E，交x轴于点D， ∴，， ∴PE=，OD=a， ∴； （3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T， ∵GF∥x轴， ∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR， ∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°， 则四边形OSRA为矩形， ∴OS=AR，SR=OA=12， ∵OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=45°， ∴∠FAR=90°-∠AFR=45°， ∴∠FAR=∠AFR， ∴FR=AR=OS， ∵QF⊥OF， ∴∠OFQ=90°， ∴∠OFS+∠QFR=90°， ∵∠SOF+∠OFS=90°， ∴∠SOF=∠QFR， ∴△OFS≌△FQR， ∴SF=QR， ∵∠SFB=∠AFR=45°， ∴∠SBF=∠SFB， ∴BS=SF=QR， ∵∠SGB=∠RGQ， ∴△BSG≌△QRG， ∴SG=RG=6， 设FR=m，则AR=m， ∴QR=SF=12-m， ∴AF=， ∵， ∴GQ=， ∵QG2=GR2+QR2，即，解得：m=4， ∴FS=8，AR=4， ∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR， ∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°， ∴四边形OSFT为矩形， ∴OT=FS=8， ∵∠DHE=∠DPH， ∴tan∠DHE=tan∠DPH， ∴， 由（2）可知，DE=，PD=3a， ∴，解得：DH=， ∴tan∠PHD=， ∵∠PHD=∠FHT， ∴tan∠FHT=， ∴HT=2， ∵OT=OD+DH+HT， ∴， ∴a=， ∴ 【点睛】 本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．

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