题目

已知函数f（x）＝ex﹣有两个极值点． （1）求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2． 答案：【详解】（1）解：f′（x）＝ex﹣ax． ∵函数f（x）＝ex有两个极值点． ∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根． x＝0时不满足上述方程， 方程化为：a， 令g（x），（x≠0）． g′（x）， 可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． a＞e时，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根． ∴实数a的取值范围是（e，+∞）． （2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2． 证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔， 由，因此即证明：． 构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1． h′（x）（x﹣1）， 令函数u（x），（0＜x）． u′（x）． 可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减． v（x）≥v（1）＝0． ∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0． ∴h（x）＞h（1）＝0． ∴． 因此+＞2成立． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

查看本题答案和解析