题目

已知函数是定义在上的偶函数,    ，其中均为常数． （1）求实数的值； （2）试讨论函数的奇偶性； （3）若，求函数的最小值． 答案：考点：  函数奇偶性的性质；二次函数的性质． 专题：函数的性质 分析：（1）利用偶函数的性质可得：，解出即可．      （2）利用函数的奇偶性的定义即可得出；  （3）去掉绝对值符号，利用二次函数的单调性即可得出；本题考查了函数的奇偶性、二次函数的单调性、绝对值的意义，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 解答：（1）∵函数f（x）=x2+（b+1）x+1是定义在[a﹣2，a]上的偶函数，       ∴，解得．                                     …2分 （2）由（1）可得f（x）=x2+1    得g（x）=f（x）+|x﹣t|=x2+|x﹣t|+1，x∈[﹣1，1]．        当t=0时，函数y=g（x）为偶函数．                              …  4分        当t≠0时，函数y=g（x）为非奇非偶函数．                       …  6分 （3）g（x）=f（x）+|x﹣t|=，，           …  8分 当时，函数y=g（x）在[t，1]上单调递增，则g（x）≥g（t）=t2+1．…10分 当时，函数y=g（x）在[﹣1，t]上单调递减，则g（x）＞g（t）=t2+1． 综上，函数y=g（x）的最小值为t2+1．                                    … 12分

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