题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD， PC=AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）求二面角P—AC—E的余弦值； （3）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC 即为二面角P—AC—E的平面角. ∴在 , ∴E为中点,可得 …………8分 （Ⅲ）作,F为垂足 由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，又∵平面EAC平面PBC=CE， ∴，连接AF，则就是直线PA与平面EAC所成的角。 由（Ⅱ）知，由等面积法可知， 在得 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。

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