题目

如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B. (1)求∠OCD的度数; (2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标; (3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由. 答案:【解答】解:(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有, 解得, ∴y=﹣x+m+!, 令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1), 令y+0,得到x=m+1,∴C(m+1,0), ∴OC=OD, ∵∠COD=90°, ∴∠OCD=45°. (2)设M(a,), ∵△OPM∽△OCP, ∴==, ∴OP2=OC•OM, 当m=3时,P(3,1),C(4,0), OP2=32+12=10,OC=4,OM=, ∴=, ∴10=4, ∴4a4﹣25a2+36=0, (4a2﹣9)(a2﹣4)=0, ∴a=±,a=±2, ∵1<a<3, ∴a=或2, 当a=时,M(,2), PM=,CP=, ≠(舍弃), 当a=2时,M(2,),PM=,CP=, ∴==,成立, ∴M(2,). (3)不存在.理由如下: 当m=5时,P(5,1),Q(1,5),设M(x,), OP的解析式为:y=x,OQ的解析式为y=5x, ①当1<x<5时,如图1中, ∴E(,),F(x,x), S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE =5﹣•x•x﹣••=4.1, 化简得到:x4﹣9x2+25=0, △<O, ∴没有实数根. ②当x≤1时,如图2中, S=S△OGH<S△OAM=2.5, ∴不存在, ③当x≥5时,如图3中, S=S△OTS<S△OBM=2.5, ∴不存在, 综上所述,不存在.
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