题目

如图，在中，，，按以下步骤作图：（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点（点M在的上方）；（2）作直线交于点O，交于点D；（3）用圆规在射线上截取．连接，过点O作，垂足为F，交于点G．下列结论： ①；②；③；④若，则四边形的周长为25．其中正确的结论有（    ） A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个 答案：D 【解析】 证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到，由此判断①；根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到，即可判断②；根据FG是△ACD的中位线，证得，即可判断③；设OA=x，则OF=9-x，根据，求出OA=5得到AB=10，BC=8，再根据，求出BD=，即可判断④. 【详解】 由题意知：MN垂直平分AB， ∴OA=OB，ED⊥AB， ∵OD=OE， ∴四边形ADBE是菱形， ∵，， ∴OF∥BC，AF=CF， ∴FG是△ACD的中位线， ∴，故①正确； ∵四边形ADBE是菱形， ∴AD=BD， 在Rt△ACD中，, ∴ ，故②正确； ∵FG是△ACD的中位线， ∴点G是AD的中点， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵AC=6， ∴AF=3， 设OA=x，则OF=9-x， ∵， ∴， 解得x=5， ∴AB=10， ∴BC=8， ∵， ∴， 解得BD=， ∴四边形的周长为. 故选：D. 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的作图方法，菱形的判定及性质定理，勾股定理，三角形的中位线的判定及性质，三角形中线的性质，这是一道四边形的综合题.

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