题目

已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式； (2)对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围. 答案：解　(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1 由题意3x2＋2ax－1＜0的解集是， 即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－，1. 将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0，得a＝－1. 所以g(x)＝x3－x2－x＋2 (2)由题意2xln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈(0，＋∞)上恒成立， 可得a≥ln x－x－， 设h(x)＝ln x－x－， 则h′(x)＝－＋＝－， 令h′(x)＝0，得x＝1或－(舍)， 当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0，所以当x＝1时，h(x)取得最大值，h(x)max＝－2， 所以a≥－2，所以a的取值范围是[－2，＋∞)

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