题目

已知椭圆C：经过点M（1，），其离心率为，设直线  与椭圆C相交于A、B两点．     （Ⅰ）求椭圆C的方程；     （Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）． 答案：解：（1）由离心率e==，a2=b2+c2，a2=2b2， 即有椭圆方程为+=1，将M（1，）代入，得b2=1，a2=2， 则所求椭圆方程为+y2=1．                               （4分） （2）证明：因为直线l与圆x2+y2=相切， 所以=，即m2=（1+k2）， 由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．             （7分） 设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）， 则x1+x2=﹣，x1x2=， 所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=， 所以•=x1x2+y1y2=+==0， 故OA⊥OB．                                         

查看本题答案和解析