题目

直角三角形中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面． （1）当时，证明：平面； （2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案：证明： （1）在中，，即，则， 取的中点，连接交于，当时，是的中点， 而是的中点，所以是的中位线， 所以， 在中，是的中点，所以是的中点， 在中，， 所以，则， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以． 而，所以平面； （2）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， 由（1）知是的中点，，又平面平面， 所以平面，则， 假设存在满足题意的，则由， 可得， 则，设平面的一个法向量为， 则即， 令，可得，即， 所以与平面所成的角的正弦值， 解得或3（舍去）， 综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为．

查看本题答案和解析