题目

 如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点． （1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．   答案：（1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以AB＝AD＝AC＝a， 在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB， 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 因为＝＋＋＝2＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋                                       ∴ 、、共面． PB平面EAC，所以PB∥平面EAC． （2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角． 又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝a，AG＝a，GH＝AG sin 60°＝a， 所以tanθ＝．

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