题目

 已知椭圆  的离心率为，，，，的面积为， （1）求椭圆的标准方程 （2）设直线与椭圆相交于两点，是否存在这样的实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 答案：（1）（2）不存在 【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（2）假设存在这样的实数，使其满足题意，设,联立方程组，消去得，由韦达定理及题设，方程无解可得结果. 试题解析：（1）由题意得： 解得 所以椭圆的标准方程为 （2）假设存在这样的实数，使其满足题意，设 联立方程组，消去得：， 由题意得：是此方程的解 所以 因为为直径的圆过原点，所以，即 解得，所以假设不成立， 所以，不存在这样的实数，使得以为直径的圆过原点. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.

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