题目

如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，AC⊥BC，PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°. （1）直线PC与AB能否垂直，证明你的结论；（2）若P到平面ABC的距离为h,求P到直线AB的距离. 答案：解析：（1）PC与AB不垂直，假若PC⊥AB，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结OA、OB、OC，则由已知条件及三垂线逆定理可证明OA⊥AC，OB⊥BC，OC⊥AB，由此可得四边形AOBC是正方形.∴Rt△POA≌Rt△POB,则∠PAO=∠PBO,与已知条件PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°相矛盾.故假设不真.∴PC与AB不垂直.（2）作OM⊥AB于M，连结PM，则可证PM为所求的距离.∵PO=h,可求得OA=h,OB=h,OM=,则在Rt△POM中，PM=.

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