题目

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理， 得到下面的散点图及一些统计量的值．                46.6  563  6.8 289.8 1.6  1469  108.8 其中wi=， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为： =， =﹣． 　 答案：【考点】BK：线性回归方程． 【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出， （Ⅱ）先建立中间量ω=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决； （Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可， （ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．… （Ⅱ）令ω=，先建立y关于ω的线性回归方程． 由于d==68，c=563﹣68×6.8=100.6， 所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w， 因此y关于x的回归方程为y=100.6+68．… （Ⅲ）（ i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68=576.6， 年利润z的预报值z=576.6×0.2﹣49=66.32．… （ ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值z=0.2﹣x=﹣x+13.6+20.12， 当=6.8时，年利润的预报值最大． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．… 　

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