题目

观察下列各等式(i为虚数单位)： (cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3； (cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8； (cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11； (cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12． 记f(x)＝cos x＋isin x． (1)猜想出一个用 表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性； (2)根据(1)的结论推出f n(x)的表达式； (3)利用上述结论计算：. 答案：解：(1)f(x)f(y)＝f(x＋y)．…………………………………………………..2分 证明：f(x)f(y)＝(cos x＋isin x)(cos y＋isin y)              ＝(cos xcos y－sin xsin y)＋(sin xcos y＋cos xsin y)i              ＝cos(x＋y)＋isin(x＋y) ＝f(x＋y)．……………………………….…………………5分 (2)∵f(x)f(y)＝f(x＋y)， ．………………….8分 (3) ＝ ＝i＋＝2i

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