题目

已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为，将函数f（x）的图象向左平移φ （φ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为x=，则φ的值不可能为（　　） A. B. C. D. 答案：.解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x-）ln=x++（-x）lnx， ∴g（x）=g（），则g′（x）=-（1+）lnx， 当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减． 所以g（x）的最大值为g（1）==2． （Ⅱ）∵f（x）=x++alnx， ∴f′（x）=1-+=． 令f′（x）=0，即x2+ax-1=0，则△=a2+4＞0， 不妨取t=＞0，由此得：t2+at-1=0或写为：a=-t． 当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． 从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（-t）lnt， 即h（a）=t++（-t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）． 由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=-e2＜0，g（1）=2＞0， 分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g（d）=0，且cd=1， 因为a=-t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=-d和a2=-c， 又-d+-c=-（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数． 6. 解：（1）根据复合命题的真假关系可知，若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，正确 （2）命题“∀x∈[1，2），x2-a≤0”为真命题， 则a≥x2， ∵x∈[1，2）， ∴x2∈[1，4），则a≥4， 则a≥1是命题为真命题的一个必要不充分条件，故（2）错误， （3）已知函数=x2+=（x-）2+2，则f（x）=x2+2， 则f（2）=22+2=6；故（3）正确， （4）若函数y=的定义域为R，则等价为mx2+4mx+3≠0， 当m=0时，不等式mx2+4mx+3≠0，等价为3≠0，此时满足条件，故则实数m的取值范围是错误． 故（1）（3）正确， 故选：C                                            7.解：若f（x）=xex-a有两个零点，等价为f（x）=xex-a=0，即a=xex有两个根， 设h（x）=xex， 则函数h（x）=xex的导函数h′（x）=（x+1）ex， 令h′（x）=0，则x=-1∵当x∈（-∞，-1）时，h′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（-1，+∞）时，h′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 故当x=-1时，函数取最小值h（-1）=-e-1， ∵当x≥0时，h（x）≥0， 当x＜0时，h（x）＜0， ∴若a=xex有两个根， 则＜a＜0， 故选：D 利用函数与方程的关系，利用参数分离法进行分离，构造函数，求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论． 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键． 8. 解：∵f（x）=sinx-x ∴f′（x）=cosx-1≤0，故函数f（x）在R是单调减函数， 又-＜1＜， ∴f（）＞f（1）＞f（） 故选A． 已知函数f（x）=sinx-x，求其导数，利用导数研究函数f（x）的单调性，再比较f（）、f（1）、f（）的大小关系，即可解决问题． 本题考查利用导数研究函数的单调性，掌握函数单调性的性质是解决这类问题的关键，属于中档题． 9.解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}， ∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R， f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分， 由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数； 故A不正确 y=F（x）有极大值F（-1）且有极小值F（0）；故B正确 y=F（x）在（-3，0）上不为单调函数；故C不正确 y=F（x）的没有最小值和最大值，故D不正确 故选B． 在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否． 本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题． 10. 解：f′（x）=3x2+2ax+（a-3），因为f′（x）是偶函数， 所以f′（-x）=f′（x）恒成立，即3（-x）2-2ax+（a-3）=3x2+2ax+（a-3）恒成立， 所以a=0，所以f′（x）=3x2-3， 所以f′（0）=-3，所以曲线y=f（x）在原点处的切线方程是y=-3x， 故选：B 11. 解：已知函数f（x）=3sinωxcosx+cos2ωx=sin2ωx+• =sin（2ωx+）+ 的最小正周期为， 故=，∴ω=2，f（x）=sin（4x+）+． 将函数f（x）的图象向左平移φ个单位后得到g（x）=sin[4（x+φ）+]+  =sin（4x+4φ+）+ 的图象． 因为函数g（x）的一条对称轴为x=，故4•+4φ+=kπ+， 解得φ=-，k∈Z， 故选：B．  12. 解：设g（x）=f（x）-x， 则函数的导数g′（x）=f′（x）-1， ∵f′（x）＜1， ∴g′（x）＜0， 即函数g（x）为减函数， ∵f（1）=1， ∴g（1）=f（1）-1=1-1=0， 则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g（1）， 则不等式的解为x＞1， 即f（x）＜x的解为x＞1， ∵f（1g2x）＜1g2x， ∴由1g2x＞1得1gx＞1或lgx＜-1， 解得x＞10或0＜x＜， 故不等式的解集为， 故选：D 构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．   13. 【分析】  解： 故答案为. 14. 解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＞0成立 ∴函数f（x）在定义域上为减函数， 则满足，即，得0＜a≤， 故答案为： 由任意x1≠x2，都有＞0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可． 本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键． 15. 解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”； 故①错误； ②命题“∃x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x-1≥0”； 故②错误； ③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是若sinx≠siny，则x≠y，是真命题， 故③错误； ④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．”，正确； 故答案为：④． 分别对①②③④进行判断，从而得到结论． 本题考察了命题的否定以及命题之间的关系，是一道基础题． 16. 解：由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称， 故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0， 即f（x）=-f（-x）对任何x都成立， 由②得出 ∴ ∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期为3的周期函数， 则f（2011）=f（1）=-f（-1）=-log24=-2， 故答案为：-2由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，由②得出两者结合得出函数的周期性，再结合③即可求出f（2011）．

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