题目

已知函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围． 　 答案： (1) ；(2) ． 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，令得，代入得出函数的解析式，利用导数判定函数的单调性，求解函数的单调区间；（2）由时，恒成立，转化为在区间上恒成立，令，利用函数的单调性与最值，利用条件，即可求解的取值范围． 试题解析：（1） 由已知得，则， 而，所以函数在处的切线方程为． 则，解得 那么，由， 得或，因则的单调递增区间为与； 由，得，因而的单调递减区间为 （2）若，得， 即在区间上恒成立 设，则，由，得，因而在上单调递增，由，得，因而在上单调递减 所以的最大值为，因而， 从而实数的取值范围为 考点：利用导数研究函数的单调性与最值；导数在函数中的综合应用． 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值、导数在函数中的综合应用，同时着重考查了转化与化归的思想方法及分类讨论的思想方法的应用，试题有一定的难度，本题的解答中，由时，恒成立，转化为在区间上恒成立，构造新函数，利用函数的单调性与最值是解答的关键和难点． 　

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