题目

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2． （Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程； （Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围． 答案：【解答】解：（I）g′（x）=3x2+2ax﹣1由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是 即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是．将x=1或代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1． ∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（4分） （II）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g′（﹣1）=4， ∴点p（﹣1，1）处的切线斜率k=g′（﹣1）=4， ∴函数y=g（x）的图象在点p（﹣1，1）处的切线方程为： y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（8分） （III）∵2f（x）≤g′（x）+2 即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立 可得对x∈（0，+∞）上恒成立 设，则 令h′（x）=0，得（舍） 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0 ∴当x=1时，h（x）取得最大值﹣2∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）． 　

查看本题答案和解析