题目

已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 答案：解：　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. ∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， ∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.   ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26.)

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