题目

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 答案：【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证； （2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴DE=BE， 在△OBE和△ODE中， ， ∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE=∠ABC=90°， 则DE为圆O的切线； （2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC=AC， ∵BC=2DE=4， ∴AC=8， 又∵∠C=60°，DE=CE， ∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2， 则AD=AC﹣DC=6． 　

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