题目

已知两个函数f1（x）=ln（|x﹣a|+2），f2（x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a∈R． （1）若a=0，求使得f1（x）=f2（x）的x的值； （2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f1（x）﹣f2（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围； （3）求函数F（x）=﹣的值域． 答案：解：（1）若a=0，则f1（x）=ln（|x|+2），f2（x）=ln（|x+1|+1）， ∴ln（|x|+2）=ln（|x+1|+1）， ∴|x|+2=|x+1|+1， ∴x≥0； （2）∵|f1（x）﹣f2（x）|=f1（x）﹣f2（x）对于任意的实数x∈R恒成立， ∴f1（x）﹣f2（x）≥0对于任意的实数x∈R恒成立， ∴ln（|x﹣a|+2）﹣ln（|x﹣2a+1|+1）≥0对于任意的实数x∈R恒成立， ∴|x﹣a|+2≥|x﹣2a+1|+1对于任意的实数x∈R恒成立， ∴|x﹣a|+1≥|x﹣2a+1|对于任意的实数x∈R恒成立， 即|x﹣a|﹣|x﹣2a+1|≥﹣1对于任意的实数x∈R恒成立， 由绝对值的几何意义可知， ﹣|﹣a+1|≥﹣1，即|1﹣a|≤1， 即0≤a≤2； （3）∵当f1（x）≥f2（x）时， F（x）=﹣=f2（x）， 当f1（x）＜f2（x）时， F（x）=﹣=f1（x）， 故F（x）=min{f1（x），f2（x）}， 而f1（x）=ln（|x﹣a|+2）的值域为[ln2，+∞）， f2（x）=ln（|x﹣2a+1|+1）的值域为[0，+∞）； 故函数F（x）=﹣的值域为[0，+∞）．

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