题目

将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的E处，展开如图1． [操作观察]（1）如图2，作DF⊥AC，垂足为F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，则AB=　   　； [理解应用]（2）①如图3，设G为AC上一点（与A、C）不重合，P是AD上一个动点，连接PG、PC．试说明：PG+PC与EG大小关系； ②连接EC，若∠BAC=60°，G为AC中点，且AC=6，求EC长 [拓展延伸]（3）请根据前面的解题经验，解决下面问题： 如图4，在平面直角坐标系中有A（1，4），B（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，当AP﹣BP的值最大时，请在图中标出P点的位置，并直接写出此时P点的坐标为　   　，AP﹣BP的最大值为　   　． 答案：【解答】解：【操作观察】解：∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处， ∴AD为∠BAC的角平分线， ∴点D到AB和点D到AC的距离相等． ∴S△ABC=AB•DF+•AC•DF=21， ∴•AB•3+×6×3=21， ∴AB=8 故答案为：8． 【理解运用】①结论：PG+PC≥EG． 理由：连接PE，如图3所示． ∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处， ∴AD为∠BAC的角平分线，AE=AC， ∴PE=PC， 在△PEG中，PE+PG≥EG， ∴PC+PG≥EG． ②连接EC，如图3中． ∵AE=AC，∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， 又∵AC=6， ∴EC=AC=6． 【拓展提高】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，如图4所示． ∵点B和B′关于x轴对称， ∴PB=PB′，P′B′=P′B， ∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′， ∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′＞AP﹣PB′=AP﹣PB， ∴当点P与点P′重合时，AP﹣BP最大． 设直线AB′的解析式为y=kx+b， ∵点B（3，﹣2）， ∴点B′（3，2），AB′==2． 将点A（1，4）、B′（3，2）代入y=kx+b中， 得：，解得：， ∴直线AB′的解析式为y=﹣x+5． 令y=﹣x+5中y=0，则﹣x+5=0， 解得：x=5， ∴点P′（5，0）． 故AP﹣BP的最大值为2，此时P点的坐标为（5，0）． 故答案为（5，0），2．

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