题目

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC=AC． （1）求过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，若△APQ与△ADB相似，求出m的值． 答案：【考点】相似形综合题． 【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，根据题意求出点B的坐标，利用待定系数法求出过点A，B的直线的函数表达式； （2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）分PQ∥BD时和PQ⊥AD时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣3，0），C（1，0）， ∴AC=4，又BC=AC， ∴BC=3， ∴B点坐标为（1，3）， 设过点A，B的直线的函数表达式为：y=kx+b， 则， 解得，， ∴直线AB的函数表达式为：y=x+； （2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D， ∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB， ∴△ADB∽△ABC， ∴D点为所求， ∵△ADB∽△ABC， ∴，即=， 解得，CD=， ∴， ∴点D的坐标为（，0）； （3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5， 如图2，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD， 则=， 解得，m=， 如图3，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB， 则=， 解得，m=， 所以若△APQ与△ADB相似时，m=或．

查看本题答案和解析