题目

（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小 题满分7分） （1）若对于任意的，总有成立，求常数的值； （2）在数列中，，（，），求证 是等比数列，并求通项； （3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中.试问是否存在正整数，使？若存在，求出的值；不存在，说明理由. 答案：（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小 题满分7分） （1）若对于任意的，总有成立，求常数的值； （2）在数列中，，（，），求证 是等比数列，并求通项； （3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中.试问是否存在正整数，使？若存在，求出的值；不存在，说明理由. 解：（1）由题设得即恒成立， 所以，.…………………………………………4分 （2）证明：由题设（）.又得， ，且， 即是首项为1，公比为2的等比数列，……………………………8分 所以即为所求.……………………………9分 （3）假设存在正整数满足题设， 由（2）知，显然， 又,得，. 即是以为首项，为公比的等比数列.………………………………12分 于是 ，即.…………………………14分 综上，存在正整数满足题设，.…………………………………………16分

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