题目

设常数，函数，. （Ⅰ）令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小； （Ⅱ）求证：在上是增函数； （Ⅲ）求证：当时，恒有． 答案： 3分 列表如下： 2 0 ↘ 极小值 ↗ ∴在处取得极小值， 即的最小值为．               ……5分 ， ∵，∴，又，∴．         ……7分 证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数， ∴对一切，恒有，           ……9分 从而当时，恒有，                     故在上是增函数．                       ……11分 证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：在上是增函数，      ∴当时，，                           ……12分      又，                      ……13分 ∴，即，              ∴ 故当时，恒有． 

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