题目

已知a＞0,a≠1,设P:函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;Q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果P和Q有且只有一个正确,求a的取值范围. 答案：解：当0＜a＜1时,函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减.当a＞1时,y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减;曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点等价于(2a-3)2-4＞0,即或.(1)若P正确,且Q不正确,即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两点,因此a∈(0,1)∩(［,1)∪(1,］),即a∈［,1).(2)若P不正确,且Q正确,即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点,因此a∈(1,+∞)∩((0, )∪(,+∞)),即a∈(,+∞).综上,a的取值范围为［,1)∪(,+∞).启示：本题考查对数函数与二次函数的单调性及简易逻辑等,还考查了分类讨论的思想方法.

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