题目

如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a． （1）求△ACD的面积（用含a的代数式表示）； （2）求点D到射线BN的距离（用含有a的代数式表示）； （3）是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由． 答案：【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=4，BC=a， ∴AC==， ∴CD=AC=， ∵∠ACD=90°， ∴S△ACD=AC•CD= （2）如图1，过点D作DF⊥BN于点F， ∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°， ∴∠FDC=∠ACB， ∵∠B=∠DFC=90°， ∴∠FDC=∠ACB， ∵∠B=∠DFC=90°， ∴△DFC∽△CBA， ∴， ∴DF=BC=a， ∴D到射线BN的距离为a； （3）存在，①当EC=EA时， ∵∠ACD=90°， ∴EC=EA=AD， ∵AB∥CE∥DF， ∴BC=FC=a， 由（2）知，△DFC∽△CBA， ∴， ∴FC=AB=2， ∴a=2， ②当AE=AC时，如图2，AM⊥CE， ∴∠1=∠2， ∵AM∥BN， ∴∠2=∠4， ∴∠1=∠4， 由（2）知，∠3=∠4， ∴∠1=∠3， ∵∠AGD=∠DFC=90°， ∴△ADG∽△DCF， ∴， ∵AD==，AG=a+2，CD=， ∴， ∴a=4+8， 即：满足条件的a的值为2或4+8． 　

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