题目

设m是实数，函数． （Ⅰ）求f（x）的定义域； （Ⅱ）用定义证明：对于任意实数m，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数． 答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法． 【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）可以看出要使f（x）有意义则需x≠0，这样便得出f（x）的定义域； （Ⅱ）根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，便可得到，根据指数函数的单调性便可证明f（x1）＞f（x2），从而得出对任意实数m，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数． 【解答】解：（I）解：由3x﹣1≠0得，x≠0； ∴f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）； （II）证明：设x1＞x2＞0则： =； ∵指数函数y=3x在R上是增函数，且x1＞x2＞0； ∴； ∴； ∴f（x1）＞f（x2）； ∴对于任意实数m，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数． 【点评】考查函数定义域的概念及求法，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后，是分式的一般要通分，以及指数函数的单调性．

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