题目

如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处． （1）求点、的坐标； （2）求经过、、三点的抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点． ①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标； ②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标. 答案：解：（1）如图所示，∵点关于轴的对称点为，与轴交于点， ∴⊥轴于，， ．…………………………1分 ∴． ∴， 由题意可知 ， ． ∴． 过点作轴于，轴于， 在中， ,   ． 由矩形得． ∵点在第四象限∴．……………………………2分    （2）设经过、、三点的抛物线的解析式为.         依题意得 ………………………3分         解得 ∴此抛物线的解析式为．………………………4分 （3）∵， ∴点为抛物线的顶点． ∴直线为抛物线的对称轴，交于， 由题意可知 ，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，． ∴． ①当点在上时，四边形为等腰梯形. ∵∥∥，与不平行，∴四边形为梯形. 要使梯形为等腰梯形，只需满足. ∵,∴点在上. 由、求得直线的解析式为. 又∵点在抛物线上，∴. 解得（与点重合，舍）.∴点横坐标为. 由、求得直线的解析式为. ∵点在上，∴ ．∴．………6分 ②当点在上时，四边形为平行四边形，此时点坐标为. ……………………8分 综上所述，当时，为等腰梯形；当时，为平行四边形

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