题目

（1）如图（1），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的内部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系，并写出证明过程． （2）如图（2），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的外部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系吗？（只写出答案，无需证明）． （3）在图（1）的基础上再以FG为折痕叠纸片，形成如图（3）的形状．判断∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7的之间大小关系吗？（只写出答案，无需证明）． 　 答案：解：（1）2∠O=∠ODC+∠BEO．理由如下： 如图1，∵把三角形纸片ABC的角A沿DE折起，点A的对称点为点O， ∴∠A=∠O，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OED． ∵∠O+∠ODE+∠OED=180°， ∠ODC+∠ODE+∠EDA=180°， ∠BEO+∠DEO+∠AED=180°， ∴2∠O=360°﹣2∠0DE﹣2∠OED， ∠ODC=180°﹣2∠ODE， ∠BEO=180°﹣2∠OED， ∴2∠O=∠ODC+∠BEO； （2）2∠O=∠ODC﹣∠BEO．理由如下： 如图2，设DO交AB于点F， ∵∠ODC=∠A+∠DFA，∠DFA=∠O+∠BEO， ∴∠ODC=∠A+∠O+∠BEO， ∴∠ODC﹣∠BEO=∠A+∠O， ∵△ODE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A=∠O， ∴2∠O=∠ODC﹣∠BEO； （3）∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6或∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．理由如下： 如图3，由（1）的结论及折叠的性质可知，2∠4=∠2+∠6，2∠6=∠5+∠7，2∠2=∠1+∠3， ∴∠1+∠3+∠5+∠7+∠2+∠6=2∠2+2∠6+2∠4， ∴∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6， ∵2∠4=∠2+∠6， ∴∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．

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