题目

（1）操作发现： 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决： 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值； （3）类比探求： 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值． 答案：【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可； （2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值； （3）方法同（2）． 【解答】解：（1）同意，连接EF， 则根据翻折不变性得， ∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF， 在Rt△EGF和Rt△EDF中， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）， ∴GF=DF；   （2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=2DF， ∴CF=x，DC=AB=BG=2x， ∴BF=BG+GF=3x； 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2 ∴y=2x， ∴；   （3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=nDF， ∴BF=BG+GF=（n+1）x 在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n﹣1）x]2=[（n+1）x]2 ∴y=2x， ∴或． 【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中． 　

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