题目
已知数列{an}满足an＞0,且对一切n∈N*,有=Sn2,其中Sn=. (1)求证:对一切n∈N*,有an+12-an+1=2Sn;(2)求数列{an}的通项公式;(3)求证:＜3.
答案：解析:(1)由=Sn2,①则=Sn+12.②②-①,得an+13=Sn+12-Sn2=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2Sn+an+1)an+1.因为an+1＞0,所以an+12-an+1=2Sn.(2)由an+12-an+1=2Sn及an2-an=2Sn-1(n≥2),两式相减,得(an+1+an)(an+1-an)=an+1+an.因为an+1+an＞0,所以an+1-an=1(n≥2).当n=1,2时易得a1=1,a2=2,所以an+1-an=1(n≥1).所以{an}是以a1=1为首项,d=1为公差的等差数列.故an=n.(3) = ＜1+＜1+=1+=1+=1+1+ - -＜2+＜3.
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