题目

定义：从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{an}的一个子数列.设数列{an}是一个公差不为零的等差数列； （1）已知a4＝6，自然数k1，k2，…，kt，…满足4＜k1＜k2＜…＜kt＜…，   ①若a2＝2，且a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…是等比数列，求k2的值；   ②若a2＝4，求证：数列a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…不是等比数列. （2）已知存在自然数k1，k2，…，kt，…，其中k1＜k2＜…＜kt＜…．若ak1，ak2，ak3，…，akt，…是{an}的一个等比子数列，若＝m(m为正整数)，求kt的表达式.(答案用k1，k2，m，t表示). 答案：（1）①设数列{an}的公差为d，因为a2＝2，a4＝6，所以2d＝4，d＝2，an＝a2＋(n－2)d＝2n－2，设无穷等比数列公比为q，q＝＝3，所以ak2＝2×33＝2k2－2，故k2＝28. ②假设数列a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…是无穷等比数列.则a2，a4，ak1成等比，a4，ak1，ak2成等比,所以a42＝a2×ak1得 ak1＝9, ak12＝a4×ak2得ak2＝.因为2d＝a4－a2＝1，d＝1，an＝a2＋(n－2)d＝n＋2，所以ak2＝k2＋2＝，k2＝N* 这与k2为自然数矛盾.所以数列a2，a4，ak1，ak2，…，akt，…不是无穷等比数列. （2）方法1  因为ak2－ak1＝(k2－k1)d＝(m－1)ak1，所以d＝． 又ak1，ak2，ak3，…，akt，…是{an}的一个等比子数列，akt＝ak1mt-1＝ak1＋(kt－k1)d， 将d＝代入，得mt-1＝1＋， 解得kt=(k2-k1)×＋k1． 方法2  因为ak1，ak2，ak3成等比数列，所以ak3＝＝×ak2＝[1＋]×ak2＝ak2＋×ak2，则(k3－k2)d＝(k2－k1)d×，因为d不为零，是正整数m，所以k3－k2＝(k2－k1)m，同理可得k4－k3＝(k3－k2)m，…，kt－kt－1＝(kt－1－kt－2)m(t≥3)，所以{kt－kt－1}(t≥2)是等比数列，则kt－kt－1＝(k2－k1)×mt－2(t≥2)，累加得kt－k1＝(k2－k1)×，所以kt=(k2-k1)×＋k1(t≥2)，易知当t＝1时，此式也成立，于是kt=(k2-k1)×＋k1． 【说明】本题主要探究了无穷等差数列中能有无穷等比子数列的条件问题，考查了等差数列等比数列的概念及基本量运算，通项公式的求法，反证法等等.考查了运算能力，推理论证能力和化归思想.

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