题目

过抛物线y2=4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B.(1)求证:△AOB不是直角三角形;(2)当l的斜率为时,抛物线上是否存在点C,使△ABC为直角三角形且B为直角(点B位于x轴下方)?若存在,求出所有的点C;若不存在,说明理由. 答案：解:(1)证明:∵焦点F为(1,0),过点F且与抛物线交于点A、B的所有直线可设为ky=x-1,代入抛物线y2=4x得y2-4ky-4=0,则有yAyB=-4, 进而xAxB=·=1. 又|OA|·|OB|cos∠AOB=·=xaxb+yayb=1-4=-3＜0,得∠AOB为钝角,故△AOB不是直角三角形. (2)由题意得AB的方程为x-2y-1=0,代入抛物线y2=4x,求得A(9+4,4+2),B(9-4,4-2), 假设抛物线上存在点C(t2,2t),使△ABC为直角三角形且C为直角,此时,以AC为直径的圆的方程为(x-xa)(x-xc)+(y-ya)(y-yc)=0,将A、B、C三点的坐标代入得(-8)(9-4-t2)+(-4)(4-2-2t)=0,整理得t2+t-(11-5)=0, 解得t1=2-对应点B,t2=-3+对应点C, 则存在C(14-6,-6+2)使△ABC为直角三角形.故满足条件的点C有一个:C(14-6,-6+2).

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