题目

已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E． （1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由； （2）若CE=2，求⊙O的半径r． 答案：【考点】切线的判定与性质；菱形的性质． 【分析】（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案； （2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案． 【解答】解：（1）⊙O与BC相切，理由如下 连接OD、OB， ∵⊙O与CD相切于点D， ∴OD⊥CD，∠ODC=90°． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB． ∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上， ∵OD=OB，OC=OC，CB=CD， ∴△OBC≌△ODC． ∴∠OBC=∠ODC=90°， 又∵OB为半径， ∴⊙O与BC相切； （2）∵AD=CD， ∴∠ACD=∠CAD． ∵AO=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵∠COD=∠OAD+∠AOD， ∠COD=2∠CAD． ∴∠COD=2∠ACD 又∵∠COD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=30°． ∴OD=OC， 即r=（r+2）． ∴r=2． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．

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