题目

已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0 （Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程； （Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围 （Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围． 答案：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x， ∴f′（x）=﹣x2+2x+3， 故k=f′（3）=0， 又∵f（3）=9， ∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9， （Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间， 即存在某个子区间（a，b）⊂（，+∞）使得f′（x）＞0， ∴只需f′（）＞0即可， f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1， 由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞， 由于m＞0，∴m＞． （Ⅲ）由题设可得， ∴方程有两个相异的实根x1，x2， 故x1+x2=3，且 解得：（舍去）或， ∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴， 若 x1≤1＜x2， 则， 而f（x1）=0，不合题意． 若1＜x1＜x2，对任意的x∈， 有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0， 则， 又f（x1）=0，所以 f（x）在上的最小值为0， 于是对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是， 解得；     综上，m的取值范围是．

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