题目

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°． （1）求点A，C的坐标； （2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值； （3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．   答案： 解：（1）解一元二次方程x2﹣12x+36=0，解得：x1=x2=6， ∴OA=OC=6， ∴A（﹣6，0），C（6，0）； （2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵∠BAC=45°， ∴AE=BE， 设BE=x， ∵BC=4， ∴CE=， ∵AE+CE=OA+OC， ∴x+=12， 整理得：x2﹣12x+32=0， 解得：x1=4（不合题意舍去），x2=8 ∴BE=8，OE=8﹣6=2， ∴B（2，8）， 把B（2，8）代入y=，得k=16． （3）存在． 如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP， 则， 即 解得：OP=2或OP=6 ∴P（0，2）或P（0，6）； 如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP， 则， 即， 解得：OP=12， ∴P（0，12）； 如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP， 则， 即， 解得：OP=4+2或OP=4﹣2（不合题意舍去）， ∴P（0，4+2）； 如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP， 则，即，解得：OP=﹣4+2或﹣4﹣2，则P点坐标为（0，2﹣4）或（0，4+2）（不合题意舍去）． ∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，2﹣4）．  

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