题目

如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A（2，1）， （1）求出二次函数的表达式； （2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标． （3）过y轴的正半轴上一点C（0，a）作AO的平行线交抛物线于点B， ①求出直线BC的函数表达式（用a表示）； ②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数． 　 答案：【考点】二次函数综合题；奇数与偶数；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题． 【专题】综合题． 【分析】（1）可设抛物线的解析式为y=ax2，然后只需把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题； （2）由抛物线的解析式可知，要使y是整数，只需x是偶数，故x可用2n表示（n为整数），由此就可解决问题； （3）①可运用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两直线平行一次项的系数相同，就可得到直线BC的函数表达式；②由于点B是整点，点B的坐标可表示为（2n，n2），代入直线BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根据平行等积法可得S△OAB=S△OAC=n（n﹣1），由于n与n﹣1是相邻整数，必然一奇一偶，因而n（n﹣1）是偶数，问题得以解决． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2， 把A（2，1）代入y=ax2，得 1=4a， 解得a=， ∴二次函数的表达式为y=x2； （2）抛物线上整点坐标可表示为（2n，n2），其中n为整数； （3）①设直线OA的解析式为y=kx， 把点A（2，1）代入y=kx，得 1=2k， 解得k=， ∴直线OA的解析式为y=x， 则过点C（0，c）与直线OA平行的直线的解析式为y=x+c； ②证明：∵点B是整点， ∴点B的坐标可表示为（2n，n2），其中n为整数， 把B（2n，n2）代入y=x+c，得 n2=n+c， ∴c=n2﹣n=n（n﹣1）． ∵BC∥OA， ∴S△OAB=S△OAC=×c×2=c=n（n﹣1）． ∵n为整数，∴n与n﹣1一奇一偶， ∴n（n﹣1）是偶数， ∴△OAB的面积是偶数． 【点评】本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、两直线平行问题、直线上点的坐标特征、平行等积法、奇数与偶数等知识，运用平行等积法是解决第（3）②小题的关键．

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