题目

如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值. 答案：思路解析:本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,可以用立体几何方法来证,也可以用向量法来证.方法一:(1)证明:∵直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC.∴AC⊥BC1.(2)证明:设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1.∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.(3)解:∵DE∥AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角,在△CED中,ED=AC1=,CD=AB=,CE=CB1=,∴cos∠CED=.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.方法二:∵直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC,BC,C1C两两垂直.如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0).(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),∴·=0.∴AC⊥BC1.(2)设CB1与C1B的交点为E,则E(0,2,2).∵=(,0,2), =(-3,0,4),∴=.∴DE∥AC1.∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.(3)∵=(-3,0,4),=(0,4,4),∴cos〈,〉=.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.

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