题目

关于x的方程﹣x2+2（k﹣1）x﹣k2+1=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k为何值时，方程的两个实数根的平方和等于16？ 答案：【考点】根的判别式；根与系数的关系． 【分析】（1）由于关于x的方程﹣x2+2（k﹣1）x﹣k2+1=0有两个不相等的实数根，根据方程的判别式大于0，由此即可确定k的取值范围； （2）首先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，然后把两个实数根的平方和变换两根之和与两根之积相关的形式，由此即可得到关于k的方程，解方程就可以求出k的值． 【解答】解：（1）由题意得，△=（2（k﹣1））2﹣4（k2﹣1）=﹣8k+8＞0， 解得，k＜1， 故k的取值范围：k＜1；   （2）设方程的两根为x1，x2， 由x12+x22=（ x1+x2）2﹣2 x1x2=（2（k﹣1））2﹣2（k2﹣1）=2k2﹣8k+6=16， 解得，k=﹣1或5（舍去）， 当k=﹣1时，方程的两个实数根的平方和等于16． 【点评】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系，综合性比较强．第一小题通过利用一元二次方程根的情况与判别式△的关系得到关于k的不等式解决问题；第二小题通过利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程解决问题．

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