题目

如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．   答案：解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴B点与E点关于PQ对称． ∴BP=PE，BF=FE，∠BPF=∠EPF． 又∵EF∥AB， ∴∠BPF =∠EFP． ∴∠EPF =∠EFP． ∴EP=EF． ∴BP=BF=FE=EP． ∴四边形BFEP为菱形． （2）①如图2， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°． ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE=BC=5cm． 在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32， ∴DE=4cm． ∴AE=AD-DE=5 cm -4 cm =1 cm． ∴在Rt△APE中，AE=1，AP=3-PB=3-EP． 即EP2=12+(3-EP)2，解得EP=cm． ∴菱形BFEP边长为cm． ②当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE=1cm． 当点P与点A重合时，如图3，点E离A点最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．

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