题目

如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，AC上.连接AG，AF分别交DE于M，N两点． （1）求证：.（改编2012上城区二模试卷22题） (2) 求证：． (3)若AB=AC=4，求与的面积之比   答案：（1）证明：∵四边形DGFE是正方形，∴DN∥BF， ∴△ANE∽△AFC， ∴,同理可得． ∴． （2）证明： 由（1）可知，同理也可以得到, ∴,. ∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°． ∴∠B=∠CEF， 又∵∠BGD=∠EFC=Rt∠， ∴△BGD∽△EFC． ∴. ∵DG,GF,EF是同一个正方形的边长，∴DG=GF=EF. ∴ ∴, ∴MN 2＝DM·EN. （3） ∵    ∴  ∵∠B=∠C＝45o , 四边形DEFG是正方形，  ∴  ∵ 由（1）(2)可得 ∴ ∴

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