题目

（04年福建卷理）（14分）已知f(x)=(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数。（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。 答案：解析：（Ⅰ）f＇(x)== ，∵f(x)在[-1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[-1，1]恒成立，即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立.        ①设(x)=x2-ax-2，方法一：①-1≤a≤1，∵对x∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0∴A={a|-1≤a≤1}.方法二：①    或   0≤a≤1     或   -1≤a≤0   -1≤a≤1.∵对x∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0∴A={a|-1≤a≤1}.（Ⅱ）由=，得x2-ax-2=0，∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，∴ 从而|x1-x2|==.∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立.        ②设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)，方法一：②m≥2或m≤-2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m≠0时， ②或m≥2或m≤-2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}.

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